Proveniente da una famiglia di insegnanti, Tschudi crebbe a Basilea. Terminati gli studi di diritto e il dottorato all’Università di Basilea, lavorò come aggiunto all’ufficio cantonale del lavoro e fu a capo dell’ispettorato del lavoro di Basilea Città. Dopo l’abilitazione, nel 1952 ottenne la cattedra di diritto del lavoro all’Università di Basilea. Membro del partito socialista (PS) dal 1936, nel 1943 entrò a far parte della Federazione svizzera del personale dei servizi pubblici (SSP/VPOD). Dal 1944 al 1953 fu deputato al Gran Consiglio di Basilea Città, nel 1953 fu eletto consigliere di Stato e, nel 1956, divenne inoltre consigliere agli Stati. Nel periodo in cui fu a capo del Dipartimento dell’interno, Tschudi promosse, tra le altre cose, la legge basilese sulla previdenza in caso di invalidità.  Nel 1959 l’Assemblea federale lo elesse in Consiglio federale, insieme a un altro socialdemocratico, Willy Spühler, a due candidati cattolici conservatori, Jean Bourgknecht et Ludwig von Moos. In quell’occasione, il Consiglio federale si costituì per la prima volta secondo la cosiddetta «formula magica», in base alla quale i socialisti partecipano con due seggi alla conduzione del Governo. Tschudi si distinse sin da subito per il suo pragmatismo, votato al principio della collegialità e alla concordanza politica. Tschudi assunse la direzione del Dipartimento federale dell’interno (DFI), dove la sua rapidità sul lavoro prese presto il nome di «ritmo Tschudi». Durante gli anni in cui diresse il Dipartimento si occupò, oltre che dei dossier di politica sociale e sanitaria, di numerosi altri progetti, tra cui la costruzione della rete di strade nazionali, la politica in ambito di educazione, ricerca e cultura e – settore politico allora agli albori – la protezione dell’ambiente. Il periodo in cui Tschudi fu in carica coincise con il boom economico e l’ampliamento delle attività statali e, di conseguenza, con l’incremento del bilancio del DFI (e delle spese sociali), che passò da 500 milioni a quasi sei miliardi di franchi. Ritiratosi dal Consiglio federale nel 1973, fino agli 1980 Tschudi insegnò alle Università di Basilea e di Berna, impegnandosi parallelamente per la fondazione Pro Senectute (in veste di presidente) e per la Croce Rossa (quale membro del comitato internazionale).

Una delle priorità durante il suo mandato politico fu quella di rafforzare il settore della sicurezza sociale. Forse come nessun altro politico, Tschudi si schierò a favore di un’espansione della politica sociale quale riflesso della prosperità economica. A lui si devono numerose revisioni dell’AVS che permisero, ad esempio, di adeguate le rendite all’evoluzione dei prezzi e dei salari e di ampliare le prestazioni. Le rendite conobbero un aumento sostanziale soprattutto con l’8^a revisione (1972). È sempre a lui che si deve, tra l’altro, l’introduzione delle prestazioni complementari (1965). Scostandosi dalla posizione sostenuta dal suo partito, Tschudi fu sin dall’inizio un convinto fautore del modello dei tre pilastri e del regime obbligatorio nella previdenza professionale (1972). Il suo mandato coincise quindi non solo con il rafforzamento dell’AVS, ma anche con la limitazione del primo pilastro (AVS) attraverso le sviluppo del secondo e del terzo pilastro (casse pensioni e risparmio per la vecchiaia su base volontaria). In ambito di assicurazione malattie fallì invece il tentativo di introdurre un parziale regime obbligatorio (1974) e di canalizzare così alcune iniziative più ambiziose avanzate dalla sinistra. Il progetto di ampliare il campo d’applicazione dell’assicurazione contro gli infortuni ebbe più successo, ma la sua attuazione effettiva (1984) avvenne tuttavia solo dopo la fine del mandato di Tschudi.